Definição, coeficientes, gráfico, crescimento, zero da função e muito mais — tudo explicado do jeito certo.
A função afim é uma das mais simples e mais usadas na matemática. Ela aparece em todo lugar: no cálculo do troco, no preço de um táxi, na conta de luz... Toda vez que uma quantidade cresce ou diminui de forma constante, provavelmente tem uma função afim por trás.
A definição é bem direta: é qualquer função escrita na forma
Onde x é o valor que você coloca, a e b são números fixos, e f(x) é o resultado que a função devolve.
f(x) = 3x + 2
f(x) = −x + 5
f(x) = 2x
f(x) = 7 (b=7, a... veja casos especiais)
f(x) = x²
f(x) = 1/x
f(x) = x³ + 2x
f(x) = √x
O nome vem do latim — "afim" significa "próximo de", "relacionado a". A função afim é "parecida" com a função linear (que é f(x) = ax), mas tem um termo extra (o +b) que a desloca. Por isso o nome.
Cada número na fórmula tem um papel específico. Entender o que cada um faz é a chave pra interpretar qualquer função afim sem precisar desenhar o gráfico.
O a diz o quanto f(x) muda a cada vez que x aumenta 1 unidade. Se a = 3, a cada passo de x, o resultado sobe 3.
→ a > 0: função crescente
→ a < 0: função decrescente
O b é o valor de f(0) — o ponto onde a reta cruza o eixo y. É o "ponto de partida" da função.
f(0) = a·0 + b = b
Um táxi cobra R$ 5,00 de bandeirada (taxa fixa) mais R$ 2,50 por km rodado. A função do valor a pagar é:
f(x) = 2,50x + 5
Aqui, a = 2,50 é o preço por km (taxa de variação) e b = 5 é a bandeirada (valor inicial). Se você andar 4 km: f(4) = 2,50 · 4 + 5 = 10 + 5 = R$ 15,00.
Viu como é direto? O b é sempre o que você paga sem andar nada, e o a é o quanto aumenta por unidade.
| Coeficiente | Nome | O que representa | Onde aparece no gráfico |
|---|---|---|---|
| a | Taxa de variação / inclinação | Variação de f(x) por unidade de x | Inclinação da reta |
| b | Termo independente / intercepto | Valor de f(x) quando x = 0 | Ponto onde a reta cruza o eixo y |
O gráfico de toda função afim é uma reta. Sempre. Não importa quais sejam os valores de a e b — vai ser uma linha reta.
Pra desenhar a reta, você só precisa de dois pontos. O jeito mais fácil é usar x = 0 e x = 1 (ou qualquer outro valor que dê conta fácil).
Passo 1 — encontra dois pontos:
x = 0 → f(0) = 2·0 + 1 = 1 → ponto (0, 1)
x = 3 → f(3) = 2·3 + 1 = 7 → ponto (3, 7)
Passo 2 — marca os pontos no plano e liga com uma reta. Pronto!
Se a = 0, a função fica f(x) = b, que é uma reta horizontal — chamada de função constante. Ela é um caso especial. A maioria das questões considera que a ≠ 0 pra ser uma função afim "completa".
Isso é fácil de responder: olha só pro valor de a. Mais nada. O b não influencia em nada no crescimento da função.
Quando a > 0, a reta sobe da esquerda pra direita. Quanto maior o x, maior o f(x).
Quando a < 0, a reta desce da esquerda pra direita. Quanto maior o x, menor o f(x).
O zero da função (ou raiz) é o valor de x onde f(x) = 0. É o ponto onde a reta cruza o eixo x.
Pra achar, é só resolver a equação ax + b = 0:
Queremos f(x) = 0:
2x + 6 = 0
2x = −6
x = −6/2
x = −3
O zero é x = −3. A reta cruza o eixo x no ponto (−3, 0).
−x + 4 = 0
−x = −4
x = 4
O zero é x = 4. A reta cruza o eixo x no ponto (4, 0).
Voltando ao exemplo do táxi: f(x) = 2,50x + 5. O zero seria 2,50x + 5 = 0 → x = −2. No mundo real, isso não faz sentido (km negativo), mas matematicamente existe. Em problemas práticos, o zero indica quando a função "cruza" o zero — por exemplo, quando um saldo bancário zera, quando um objeto toca o chão etc.
Muda os valores de a e b e vê a reta se mover em tempo real. Observa como o a controla a inclinação e o b controla onde a reta começa no eixo y.
Dois casos que sempre caem nas provas e que vale conhecer bem:
Quando b = 0, a fórmula fica f(x) = ax. A reta passa pela origem (0, 0). É chamada de função linear (ou proporcional).
Exemplo: f(x) = 3x
Quando a = 0, a fórmula fica f(x) = b. A reta é horizontal — o valor de f(x) não muda, não importa o x.
Exemplo: f(x) = 4
Às vezes a função afim vem "disfarçada". É só desenvolver:
f(x) = 2(x + 3) − 1
f(x) = 2x + 6 − 1
f(x) = 2x + 5
Pronto — a = 2 e b = 5. Sempre desenvolve antes de identificar os coeficientes.
Crescente ou decrescente? a = 4 > 0 → crescente
Zero: 4x − 8 = 0 → 4x = 8 → x = 2
A reta cruza o eixo x em (2, 0) e o eixo y em f(0) = −8, ou seja, (0, −8).
A função é: f(x) = 120x + 80, onde x = número de meses.
b = 80 (matrícula, paga uma vez) e a = 120 (mensalidade).
f(6) = 120 · 6 + 80 = 720 + 80 = R$ 800,00 no total.
Substituímos f(x) por −6 e resolvemos:
−3x + 9 = −6
−3x = −6 − 9
−3x = −15
x = −15 / −3 = 5
Quando x = 5, f(x) = −6.
Passo 1 — calcula a:
a = Δy/Δx = (11 − 5)/(3 − 1) = 6/2 = 3
Passo 2 — calcula b usando um dos pontos (uso o (1,5)):
5 = 3·1 + b → 5 = 3 + b → b = 2
Função: f(x) = 3x + 2
| Conceito | Detalhe |
|---|---|
| Forma geral | f(x) = ax + b (a ≠ 0) |
| Coeficiente a | Taxa de variação / inclinação da reta |
| Coeficiente b | Intercepto — valor de f(0), onde a reta cruza o eixo y |
| Gráfico | Sempre uma reta |
| Crescente | a > 0 → reta sobe da esquerda pra direita |
| Decrescente | a < 0 → reta desce da esquerda pra direita |
| Zero da função | ax + b = 0 → x = −b/a |
| Função linear | Caso especial com b = 0 → f(x) = ax (passa pela origem) |
| Função constante | Caso especial com a = 0 → f(x) = b (reta horizontal) |
| Achar a função por 2 pontos | a = Δy/Δx, depois b = y − a·x |
→ a > 0: reta sobe (crescente)
→ a < 0: reta desce (decrescente)
→ |a| grande: reta mais íngreme
→ |a| pequeno: reta mais "deitada"
→ b > 0: reta cruza o eixo y acima da origem
→ b < 0: reta cruza o eixo y abaixo da origem
→ b = 0: reta passa pela origem
Pensa no a como a "velocidade" e no b como o "ponto de partida". Num carro que já saiu de 5 km da cidade (b = 5) e anda 80 km/h (a = 80), a posição depois de t horas é f(t) = 80t + 5. Função afim no mundo real!