Produto cartesiano, domínio, contradomínio, imagem e o que é uma função — tudo explicado do zero.
▶ Próxima aula Função Afim →Antes de falar de função, a gente precisa entender o que é um produto cartesiano. É mais simples do que parece.
Imagine dois grupos de coisas. O grupo A tem os sabores de sorvete: {chocolate, morango}. O grupo B tem os tamanhos: {P, M, G}.
O produto cartesiano A × B é simplesmente todas as combinações possíveis entre os dois grupos, formando pares:
Matematicamente, a gente escreve assim:
O par (chocolate, P) é diferente de (P, chocolate). A ordem importa — por isso chamamos de par ordenado. É o mesmo princípio do plano cartesiano: o ponto (2, 3) não é a mesma coisa que (3, 2).
A = {1, 2} e B = {a, b, c}
A × B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
Quantos pares? 2 × 3 = 6 pares. Sempre multiplica o tamanho dos dois grupos.
Agora que você sabe o que é o produto cartesiano, fica fácil entender o que é uma relação.
Uma relação é quando você pega o produto cartesiano A × B e escolhe só alguns pares, seguindo alguma regra. Em vez de usar todos os pares possíveis, você seleciona apenas os que fazem sentido pra você.
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Regra: "y é o dobro de x".
Então os pares que obedecem essa regra são:
{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}
Esses três pares formam uma relação de A em B. Simples assim.
Uma relação pode ser qualquer coisa — um bagunçado de pares sem muita organização. A função é uma relação especial, com regras mais rígidas. É o que vamos ver agora.
Pensa assim: uma função é como uma máquina. Você coloca alguma coisa, ela processa, e te devolve um resultado. O que define uma função não é a regra em si, mas duas condições que ela precisa respeitar:
Todo elemento do grupo A precisa ter pelo menos uma saída no grupo B. Ninguém pode ficar de fora.
Cada elemento do grupo A aponta pra exatamente um elemento do grupo B. Não pode apontar pra dois ao mesmo tempo.
A gente escreve uma função assim: f : A → B, e lê "f de A em B". Pra cada x que entra, existe um único y que sai — esse y é chamado de f(x), ou seja, "f de x".
Pensa numa cafeteria: cada cliente (conjunto A) faz um pedido (conjunto B). Todo cliente faz um pedido, e cada cliente faz só um por vez. Isso é uma função. Agora, se um cliente faz dois pedidos diferentes ao mesmo tempo, ou se um cliente não pede nada — aí quebra a regra.
Cada elemento de A tem exatamente uma seta. Todo mundo entra, cada um sai uma vez.
Um elemento de A está apontando pra dois elementos de B. Quebrou a regra.
Toda função tem três conjuntos que a gente precisa conhecer. Vou explicar cada um com um exemplo bem concreto.
Vamos usar a função f(x) = 2x, onde A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
É o conjunto A — os valores de x que a gente pode usar na função.
Dom(f) = {1, 2, 3}
É o conjunto B — o "universo de chegada". Nem todo elemento de B precisa ser usado.
CD(f) = {1,2,3,4,5,6,7}
São os valores de y que a função de fato produz. Sempre está dentro do contradomínio.
Im(f) = {2, 4, 6}
Essa é a confusão mais comum! No exemplo acima, o contradomínio tem os números 1, 3, 5 e 7, mas eles nunca aparecem como resultado da função. Então a imagem é só {2, 4, 6} — o que a função realmente produz. O contradomínio é o "universo possível", a imagem é o "que aconteceu de verdade".
Pra achar a imagem, você aplica a função pra cada elemento do domínio:
f(1) = 2×1 = 2
f(2) = 2×2 = 4
f(3) = 2×3 = 6
Juntou os resultados → Im(f) = {2, 4, 6}. Só isso.
Tem dois jeitos de uma relação não ser função. Olha só:
Um elemento de A não tem nenhuma seta. Todo mundo do grupo A precisa ter destino em B.
Um elemento de A aponta pra dois lugares ao mesmo tempo. Cada um só pode ter um destino.
Se o enunciado te der um gráfico no plano cartesiano, tem um truque rápido: traça retas verticais imaginárias. Se alguma reta tocar o gráfico em mais de um ponto, não é função. Se toda reta vertical toca em no máximo um ponto, é função.
Aplica a função pra cada valor:
f(0) = 3·0 + 1 = 1
f(1) = 3·1 + 1 = 4
f(2) = 3·2 + 1 = 7
f(3) = 3·3 + 1 = 10
Dom(f) = {0, 1, 2, 3} | Im(f) = {1, 4, 7, 10}
Verifica as regras:
→ Todo elemento de A tem par? Sim. 1→5, 2→5, 3→8.
→ Algum elemento de A aponta pra dois? Não. Cada um tem só um destino.
Obs: o 2 e o 1 chegaram no mesmo lugar (5). Isso pode! Dois elementos de A apontar pro mesmo de B é permitido. O que não pode é um de A apontar pra dois de B.
→ O 1 aparece duas vezes: (1,4) e (1,7). Isso significa que x=1 aponta pra dois valores ao mesmo tempo.
Não é função. Quebrou a 2ª regra.
Cada CPF pertence a uma única pessoa, e toda pessoa tem CPF. Cada entrada (CPF) leva a exatamente uma saída (pessoa).
É função! Esse é um exemplo perfeito no mundo real.
| Conceito | O que é | Exemplo |
|---|---|---|
| Produto Cartesiano | Todos os pares possíveis entre A e B | A×B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)} |
| Relação | Alguns pares escolhidos de A × B | R = {(1,a), (2,b)} |
| Função | Relação onde todo x tem exatamente 1 y | f : A → B |
| Domínio | O conjunto A — os valores que entram | Dom(f) = A |
| Contradomínio | O conjunto B — onde os valores podem chegar | CD(f) = B |
| Imagem | O que a função realmente produz (⊆ B) | Im(f) = {f(x) | x ∈ A} |
→ Todo elemento de A ter imagem em B
→ Cada elemento de A ter só uma imagem em B
→ Algum elemento de A não tem par em B
→ Algum elemento de A aponta pra dois ou mais elementos de B
Lembra da cafeteria: cada cliente faz um pedido. Todo cliente pede (totalidade) e cada cliente pede só uma coisa de cada vez (unicidade). Isso é função.